Albert Einstein, De l'�lectrodynamique des corps en mouvement. Zur Elektrodynamik bewegter K�rper


 

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Collection � Les auteur(e)s classiques �
Une �dition �lectronique r�alis�e � partir du texte d'Albert Einstein, �De l'�lectrodynamique des corps en mouvement.� Un article publi� originalement en allemand en 1905 dans la revue Annalen der Physik, sous le titre: �Zur Elektrodynamik bewegter K�rper� Traduit de l'allemand vers l'anglais par Meghnad Saha, astrophysicien, en 1920. Relecteurs de la version anglaise: les contributeurs de la Wikisource en anglais. (liste accessible en ligne). Traducteur de l'anglais vers le fran�ais en d�cembre 2012: Cantons-de-l�Est. Relecteur de la version fran�aise: Simon Villeneuve, contributeur de Wikip�dia et b�n�vole dans Les Classiques des sciences sociales, professeur de physique et astronomie au C�gep de Chicoutimi.

Albert Einstein (1905) [2012]

�De l'�lectrodynamique
des corps en mouvement.�

Cr�dits

Auteur : Albert Einstein
Traducteur de l'allemand vers l'anglais : Meghnad Saha
Relecteurs de la version anglaise : Contributeurs de la Wikisource en anglais (liste accessible en ligne)
Traducteur de l'anglais vers le fran�ais : Cantons-de-l�Est
Relecteur de la version fran�aise : Simon Villeneuve

Pr�sentation

L'article original d'Albert Einstein en allemand, ��Zur Elektrodynamik bewegter K�rper��, est publi� pour la premi�re fois en 1905 par la revue de physique Annalen der Physikouvrage 1. Son auteur, Albert Einstein, est mort en 1955. L'article est dans le domaine public aux �tats-Unis parce qu'il a �t� publi� avant le 1er janvier 1923. Dans les pays o� la dur�e du copyright n'exc�de pas 50 ans apr�s le d�c�s de son auteur, il est aussi dans le domaine public (c'est le cas au Canada). Finalement, dans certains pays o� la r�gle du terme le plus court s'applique, l'article est aussi dans le domaine public.

L'astrophysicien indien Meghnad Saha a traduit en anglais l'article sous le titre On the Electrodynamics of Moving Bodies, article publi� en 1920 par l'universit� de Calcutta en Inde. Il est recopi� en wikitexte dans la Wikisource en anglaisouvrage 2 (nomm� ��article A�� par la suite pour le distinguer du suivant). Le traducteur, Meghnad Saha, est mort en 1956. L'article est dans le domaine public aux �tats-Unis parce qu'il a �t� publi� avant le 1er janvier 1923. Dans les pays o� la dur�e du copyright n'exc�de pas 50 ans apr�s le d�c�s de son auteur, il est aussi dans le domaine public (c'est le cas au Canada). Finalement, dans certains pays o� la r�gle du terme le plus court s'applique, l'article A est aussi dans le domaine public.

La Wikisource en anglais publie un autre article intitul� On the Electrodynamics of Moving Bodies (nomm� ��article B��)ouvrage 3. L'article B est en grande partie une copie de l'article A, le reste est une traduction de l'article d'Albert Einstein. Des contributeurs ont aussi fait des corrections et quelques ajouts, tous publi�s sous CC BY-SA 3.0.

La traduction en fran�ais qui suit est faite � partir de l'article B. Cette traduction, publi�e en d�cembre 2012, est publi�e sous la licence Creative Commons CC BY-SA.

En notation moderne, la vitesse de la lumi�re est indiqu�e par c, mais l'article original comprend quelques �quations o� ce symbole sert � d'autres fins. Einstein utilise V � la place. Dans la traduction en fran�ais, des modifications ponctuelles sont faites et des informations sont ajout�es pour faciliter la lecture, la plupart document�es dans le corps du texte � l'aide de renvois vers des notes du traducteur (NdT).


De l'�lectrodynamique des corps en mouvement

par Albert Einstein en allemand (1905),
traduit en anglais par Meghnad Saha (1920)
et par la Wikisource en anglais (2011)

�

Cr�dits
Pr�sentation

I.�Partie cin�matique
��1.�D�finition de la simultan�it�
��2.�Sur la relativit� des longueurs et des temps
��3.�Th�orie de la transformation des coordonn�es et du temps d'un syst�me stationnaire � un autre qui se d�place � une vitesse uniforme relativement au premier
��4.��La signification physique des �quations obtenues pour les corps rigides et les horloges en mouvement
��5.�Th�or�me d'addition des vitesses
II.�Partie �lectrodynamique
��6. Transformation des �quations de Maxwell-Hertz dans un espace vide. Sur la nature de la force �lectromotrice induite par le mouvement dans un champ magn�tique
��7.�Th�orie du principe de Doppler et de l'aberration
��8.�Transformation de l'�nergie des rayons lumineux. Th�orie de la pression de radiation exerc�e sur un miroir parfait
��9.�Transformations des �quations de Maxwell-Hertz en ce qui concerne les courants de convection
��10.�Dynamique de l'�lectron (lentement acc�l�r�)
Notes du traducteur
Ouvrages


Il est connu que si nous appliquons l'�lectrodynamique de Maxwell, telle que nous la concevons aujourd'hui, aux corps en mouvement, nous sommes conduits � une asym�trie qui ne s'accorde pas avec les ph�nom�nes observ�s. Analysons par exemple l'influence mutuelle d'un aimant et d'un conducteur. Le ph�nom�ne observ� dans ce cas d�pend uniquement du mouvement relatif du conducteur et de l'aimant, alors que selon les conceptions habituelles, une distinction doit �tre �tablie entre les cas o� l'un ou l'autre des corps est en mouvement. Si par exemple l'aimant se d�place et que le conducteur est au repos, alors un champ �lectrique d'une certaine �nergie appara�t � proximit� de l'aimant, ce qui engendre un courant dans les parties du champ o� se trouve un conducteur. Mais si l'aimant est au repos et le conducteur mis en mouvement, aucun champ �lectrique n'appara�t � proximit� de l'aimant, mais une force �lectromotrice qui ne correspond � aucune �nergie en soi est produite dans le conducteur. Elle provoque cependant ��dans l'hypoth�se que le mouvement relatif dans les deux cas est le m�me�� l'apparition d'un courant �lectrique de m�me intensit� et de m�me direction que la force �lectrique, comme la force �lectrique dans le premier cas.

Des exemples similaires, tout comme l'essai infructueux de confirmer le mouvement de la Terre relativement au ��m�dium de la lumi�re��NdT 1, nous am�ne � la supposition que non seulement en m�canique, mais aussi en �lectrodynamique, aucune propri�t� des faits observ�s ne correspond au concept de repos absolu�; et que dans tous les syst�mes de coordonn�es o� les �quations de la m�canique sont vraies, les �quations �lectrodynamiques et optiques �quivalentes sont �galement vraies, comme il a �t� d�j� montr� par l'approximation au premier ordre des grandeurs. Dans le texte qui suit, nous �levons cette conjecture au rang de postulat (que nous appellerons dor�navant ��principe de relativit頻) et introduisons un autre postulat ��qui au premier regard est incompatible avec le premier�� que la lumi�re se propage dans l'espace videNdT 2, � une vitesse V ind�pendante de l'�tat de mouvement du corps �metteur. Ces deux postulats suffisent enti�rement pour former une th�orie simple et coh�rente de l'�lectrodynamique des corps en mouvement � partir de la th�orie maxwellienne des corps au repos. Il sera d�montr� que l'introduction d'un ���ther luminif�re�� est superflu, puisque selon les conceptions que nous d�velopperons, nous n'introduirons ni un ��espace absolument au repos�� muni de propri�t�s sp�ciales et ni n'associerons un vecteur vitesse � un point o� des ph�nom�nes �lectromagn�tiques se d�roulent.

Comme pour toute autre th�orie �lectrodynamique, la th�orie propos�e s'appuie sur la cin�matique des corps rigides. Dans la formulation de toute th�orie, nous devons composer avec les relations entre les corps rigides (syst�me de coordonn�es), les horloges et les ph�nom�nes �lectromagn�tiques. Une appr�ciation insuffisante de ces conditions est la cause des probl�mes auxquels se heurte pr�sentement l'�lectrodynamique des corps en mouvement.


�

I. Partie cin�matique

�

� 1. D�finition de la simultan�it�

Supposons un syst�me de coordonn�es dans lequel les �quations newtoniennes sont vraies. Pour distinguer ce syst�me d'un autre qui sera introduit plus tard, et pour rendre cette notion plus claire, nous l'appellerons le ��syst�me stationnaire��.

Si un point mat�riel est au repos dans ce syst�me de coordonn�es, alors sa position dans ce syst�me peut �tre trouv�e gr�ce � une r�gle � mesurerNdT 3 en utilisant des m�thodes en g�om�trie euclidienne, et exprim�e en coordonn�es cart�siennes.

Si nous voulons d�crire le mouvement d'un point mat�riel, les valeurs de ses coordonn�es doivent �tre exprim�es en fonction du temps. Il faut toujours garder en t�te qu'une telle d�finition math�matique poss�de un sens physique, seulement si nous avons au pr�alable une perception claire de ce qu'est le ��temps��. Nous devons prendre en consid�ration le fait que nos conceptions, o� le temps joue un r�le, portent toujours sur des �v�nements simultan�s. Par exemple, si nous disons ��qu'un train arrive ici � 7 heures��, cela signifie ��que la petite aiguille de ma montre qui pointe exactement le 7 et que l'arriv�e du train sont des �v�nements simultan�s��1.

Il peut sembler que toutes les difficult�s provenant de la d�finition du ��temps�� peuvent �tre supprim�es quand, au ��temps��, nous substituons ��la position de la petite aiguille de ma montre��. Une telle d�finition est dans les faits suffisante, quand il est requis de d�finir le temps exclusivement � l'endroit o� l'horloge se trouve. Mais elle ne suffit plus lorsqu'il s'agit de relier chronologiquement des �v�nements qui ont lieu � des endroits diff�rents ��ou ce qui revient au m�me��, d'estimer chronologiquement l'occurrence d'�v�nements qui surviennent � des endroits �loign�s de l'horloge.

Cependant, pour estimer chronologiquement les �v�nements, nous pouvons obtenir satisfaction en supposant qu'un observateur, plac� � l'origine du syst�me de coordonn�es avec l'horloge, associe un signal lumineux ��t�moignant de l'�v�nement � estimer et du rayon lumineux qui vient � lui � travers l'espace�� � la position correspondante des aiguilles de l'horloge. Cependant, une telle association a un d�faut�: elle d�pend de la position de l'observateur qui observe l'horloge, comme l'exp�rience nous le dicte. Nous pouvons obtenir un r�sultat beaucoup plus pratique de la fa�on suivante.

Si un observateur est plac� en A avec une horloge, il peut assigner un temps aux �v�nements � proximit� de A en observant la position des aiguilles de l'horloge, qui sont simultan�es avec l'�v�nement. Si une horloge est aussi plac�e en B ��nous ajoutons que cette horloge est de m�me construction que celle en A��, alors un observateur en B peut chronologiquement estimer les �v�nements qui surviennent dans le voisinage de B. Mais sans conventions pr�alables, il est impossible de comparer chronologiquement les �v�nements en B aux �v�nements en A. Nous avons jusqu'� maintenant un ��temps A�� et un ��temps B��, mais aucun ��temps�� commun � A et B. Ce dernier temps (c'est-�-dire le temps commun) peut �tre d�fini, si nous posons par d�finition que le ��temps�� requis par la lumi�re pour aller de A � B est �quivalent au ��temps�� pris par la lumi�re pour aller de B � A. Par exemple, un rayon lumineux part de A au ��temps A��, tA, en direction de B, est r�fl�chi de B au ��temps B��, tB, et revient � A au ��temps A��, t'A. Par d�finition, les deux horloges sont synchronis�es si

t_B - t_A = t'_A - t_B .

Nous supposons que cette d�finition du synchronisme est possible sans causer d'incoh�rence, peu importe le nombre de points. En cons�quence les relations suivantes sont vraies�:

1. Si l'horloge en B est synchronis�e avec l'horloge en A, alors l'horloge en A est synchronis�e avec l'horloge en B.

2. Si l'horloge en A est synchronis�e � la fois avec l'horloge en B et avec l'horloge en C, alors les horloges en B et C sont synchronis�es.

Donc, � l'aide de certaines exp�riences physiques (de pens�e), nous avons �tabli ce que nous entendons lorsque nous parlons d'horloges au repos � diff�rents endroits, et synchronis�es les unes avec les autres�; et nous avons par cons�quent �tabli une d�finition de la ��simultan�it頻 et du ��temps��. Le ��temps�� d'un �v�nement est l'indication simultan�e d'une horloge au repos situ�e � l'endroit de l'�v�nement, qui est synchronis�e avec une certaine horloge au repos dans tous les cas de d�termination du temps.

En accord avec l'exp�rience, nous ferons donc l'hypoth�se que la grandeur

\frac{2\overline{AB}}{t'_{A}-t_{A}}=V,

est une constante universelle (la vitesse de la lumi�re dans l'espace vide).

Nous venons de d�finir le temps � l'aide d'une horloge au repos dans un syst�me stationnaire. Puisqu'il existe en propre dans un syst�me stationnaire, nous appelons le temps ainsi d�fini ��temps du syst�me stationnaire��.

�

� 2. Sur la relativit� des longueurs et des temps

Les r�flexions suivantes s'appuient sur le principe de relativit� et sur le principe de la constance de la vitesse de la lumi�re, les deux que nous d�finissons comme suit�:

1. Les lois selon lesquelles l'�tat des syst�mes physiques se transforme sont ind�pendantes de la fa�on que ces changements sont rapport�s dans deux syst�mes de coordonn�es (syst�mes qui sont en mouvement rectiligne uniformeNdT 4 l'un par rapport � l'autre).

2. Chaque rayon lumineux se d�place dans un syst�me de coordonn�es ��stationnaire�� � la m�me vitesse V, la vitesse �tant ind�pendante de la condition que ce rayon lumineux soit �mis par un corps au repos ou en mouvement. Donc,

\text{vitesse} = \frac{\text{Trajet de la lumiere}}{\text{Intervalle de temps}},

o� ��intervalle de temps�� doit �tre compris tel que d�fini au � 1.

Soit une tige rigide au repos�; elle est d'une longueur l quand elle est mesur�e par une r�gle au repos. Nous supposons que l'axe de la tige se confond avec l'axe des x du syst�me stationnaire. Imprimons � la tige une vitesse uniforme v, parall�le � l'axe des x et dans la direction des x croissants. Quelle est la longueur de la longueur de la tige en mouvement�? Elle peut �tre obtenue de deux fa�ons�:

a) L'observateur pourvu de la r�gle � mesurer se d�place avec la tige � mesurer et mesure sa longueur en superposant la r�gle sur la tige, comme si l'observateur, la r�gle � mesurer et la tige sont au repos.

b) L'observateur d�termine � quels points du syst�me stationnaire se trouvent les extr�mit�s de la tige � mesurer au temps t, se servant des horloges plac�es dans le syst�me stationnaire (les horloges �tant synchronis�es comme d�crit au � 1). La distance entre ces deux points, mesur�e par la m�me r�gle � mesurer quand elle �tait au repos, est aussi une longueur, que nous appelons la ��longueur de la tige��.

Selon le principe de relativit�, la longueur trouv�e par l'op�ration a), que nous appelons la ��longueur de la tige dans le syst�me en mouvement��, est �gale � la longueur l de la tige dans le syst�me stationnaire.

La longueur trouv�e par l'op�ration b) peut �tre appel�e la ��longueur de la tige (en mouvement) dans le syst�me stationnaire��. Cette longueur est � calculer en s'appuyant sur nos deux principes, et nous d�couvrirons qu'elle diff�re de l.

Dans la cin�matique g�n�ralement utilis�e, il est implicitement suppos� que les longueurs d�finies par ces deux op�rations sont �gales ou, dit autrement, qu'� un moment donn� t, une tige rigide en mouvement est g�om�triquement rempla�able par un m�me corps, quand il est au repos � un endroit pr�cis.

Supposons de plus que deux horloges synchronis�es avec des horloges dans le syst�me stationnaire sont fix�es aux extr�mit�s A et B d'une tige, c'est-�-dire que les temps des horloges correspondent aux ��temps du syst�me stationnaire�� aux points o� elles arrivent�; ces horloges sont donc ��synchronis�es dans le syst�me stationnaire��.

Imaginons encore qu'il y a deux observateurs aupr�s des deux horloges qui se d�placent avec elles, et que ces observateurs appliquent le crit�re de synchronisme du � 1 aux deux horloges. Au temps2 tA, un rayon lumineux va de A, est r�fl�chi par B au temps tB et arrive � A au temps t'A. Prenant en compte le principe de la constance de la vitesse de la lumi�re, nous avons

t_{B}-t_{A}=\frac{r_{AB}}{V-v} ,

et

t'_{A}-t_{B}=\frac{r_{AB}}{V+v} ,

o� rAB est la longueur de la tige en mouvement, mesur�e dans le syst�me stationnaire. En cons�quence, les observateurs qui se d�placent avec la tige en mouvement n'affirmeront pas que les horloges sont synchronis�es, m�me si les observateurs dans le syst�me stationnaire t�moigneront que les horloges sont synchronis�es.

Nous en concluons que nous ne pouvons pas attacher une signification absolue au concept de simultan�it�. D�s lors, deux �v�nements qui sont simultan�s lorsque observ�s d'un syst�me ne seront pas simultan�s lorsque observ�s d'un syst�me en mouvement relativement au premier.

�

� 3. Th�orie de la transformation des coordonn�es
et du temps d'un syst�me stationnaire � un autre
en mouvement relatif uniforme comparativement
au premier

Pla�ons, dans le syst�me ��stationnaire��, deux syst�mes de coordonn�es, c'est-�-dire deux s�ries de trois axes rigides (mutuellement perpendiculaires) tous issus d'un pointNdT 5. Faisons co�ncider l'axe des x de chacun des syst�mes et mettons en parall�le les axes des y et des z. Soit une r�gle rigide et un certain nombre d'horloges dans chaque syst�me, les tiges et les horloges dans chacun �tant identiques.

Soit un point initial de l'un des syst�mes (k) anim� d'une vitesse (constante) v selon l'axe des x dans la direction des x croissants de l'autre syst�me, un syst�me stationnaire (K), et la vitesse �tant aussi communiqu�e aux axes, aux tiges et aux horloges dans le syst�me. N'importe quel temps t du syst�me stationnaire K correspond � une position certaine des axes du syst�me en mouvement. Pour des raisons de sym�trie, nous pouvons affirmer que le mouvement de k est tel que les axes du syst�me en mouvement au temps t (par t, nous entendons le temps dans le syst�me stationnaire) sont parall�les aux axes du syst�me stationnaire.

Supposons que l'espace est mesur� par la r�gle immobile plac�e dans le syst�me stationnaire K, tout comme par la r�gle en mouvement plac�e dans le syst�me en mouvement k, nous avons donc les coordonn�es x, y, z et ξ, η, ζ, respectivement. De plus, mesurons le temps t � chaque point du syst�me stationnaire gr�ce aux horloges qui sont plac�es dans le syst�me stationnaire, � l'aide de la m�thode des signaux lumineux d�crite au � 1. Soit aussi le temps τ dans le syst�me en mouvement qui est connu pour chaque point du syst�me en mouvement (dans lequel se trouvent des horloges qui sont au repos dans le syst�me en mouvement), gr�ce � la m�thode des signaux lumineux entre ces points (positions o� se trouvent des horloges) d�crit au � 1.

Pour chacun des ensembles de valeurs x, y, z, t qui indique compl�tement la position et le temps de l'�v�nement dans le syst�me stationnaire, il existe un ensemble de valeurs ξ, η, ζ, τ dans le syst�me k. Maintenant, le probl�me est de trouver le syst�me d'�quations qui relie ces valeurs.

Premi�rement, il est �vident que, en s'appuyant sur la propri�t� d'homog�n�it� que nous attribuons au temps et � l'espace, les �quations doivent �tre lin�aires.

Si nous posons x' = x - vt, alors il est �vident que pour un point au repos dans le syst�me k, il y a un syst�me de valeurs x', y, z ind�pendant du temps. Premi�rement, trouvons τ comme fonction de x', y, z, t. � cet effet, nous devons exprimer en �quations le fait que τ n'est nul autre que le temps donn� par les horloges au repos dans le syst�me k qui doivent �tre synchronis�es selon la m�thode d�crite au � 1.

Soit un rayon lumineux envoy� au temps τ0 de l'origine du syst�me k selon l'axe des x dans la direction des x croissants et qui est r�fl�chi de cet endroit au temps τ1 vers l'origine des coordonn�es, o� il arrive au temps τ2. Alors, nous avons

\frac{1}{2}(\tau_{0}+\tau_{2})=\tau_{1}.

Si nous introduisons comme condition que τ est une fonction des coordonn�es, et appliquons le principe de la constance de la vitesse de la lumi�re dans le syst�me stationnaire, nous avons

\frac{1}{2}\left[\tau(0,0,0,t)+\tau\left(0,0,0,\left\{ t+\frac{x'}{V-v}+\frac{x'}{V+v}\right\} \right)\right]

=\tau\left(x',0,0,t+\frac{x'}{V-v}\right).

Il s'ensuit donc, lorsque x' est infiniment petit�:

\frac{1}{2}\left(\frac{1}{V-v}+\frac{1}{V+v}\right)\frac{\partial\tau}{\partial t}=\frac{\partial\tau}{\partial x'}+\frac{1}{V-v}\frac{\partial\tau}{\partial t}

ou

\frac{\partial\tau}{\partial x'}+\frac{v}{V^{2}-v^{2}}\frac{\partial\tau}{\partial t}=0.

Notons qu'au lieu de l'origine des coordonn�es, nous pourrions choisir n'importe quel autre point comme point de d�part pour les rayons lumineux, et en cons�quence l'�quation ci-dessus est vraie pour toutes les valeurs de x', y, z.

Une approche semblable appliqu�e aux axes des y et des z donne, quand nous prenons en compte le fait que la lumi�re se propage toujours le long de ces axes � une vitesse \scriptstyle \sqrt{V^{2}-v^{2}} lorsque observ�e depuis le syst�me stationnaire, ces �quations�:

\begin{array}{c}??\frac{\partial\tau}{\partial y}=0, \\??\frac{\partial\tau}{\partial z}=0.??\end{array}??

Puisque \tau est une fonction lin�aire, il suit de ces �quations que

\tau=a\left(t-\frac{v}{V^{2}-v^{2}}x' \right),

o� a est une fonction inconnue φ(v) et pour des raisons de concision, il est fait l'hypoth�se qu'� l'origine de k, t = 0 lorsque τ = 0.

� l'aide de ces r�sultats, il est facile d'obtenir les grandeurs ξ, η, ζ, si nous exprimons (en �quations) le fait que la lumi�re (lorsque mesur�e dans le syst�me en mouvement) se propage toujours � la vitesse constante V (tel que requis par le principe de la constance de la vitesse de la lumi�re et le principe de la relativit�). Pour un rayon envoy� dans la direction des ξ croissants au temps τ = 0, nous avons

\xi = V\tau

ou

\xi=aV\left(t-\frac{v}{V^{2}-v^{2}}x'\right).

Cependant, le rayon lumineux se d�place relativement � l'origine de k � une vitesse V-v, mesur�e dans le syst�me stationnaire. En cons�quence, nous obtenons

\frac{x'}{V-v}=t .

Rempla�ant ces valeurs de t dans l'�quation de ξ, nous obtenons

\xi=a\frac{V^{2}}{V^{2}-v^{2}}x'.

D'une fa�on analogue, si les rayon lumineux se d�placent selon les deux autres axes, nous avons

\eta=V\tau=aV\left(t-\frac{v}{V^{2}-v^{2}}x'\right)

o�

\frac{y}{\sqrt{V^{2}-v^{2}}}=t,\ x'=0,

et donc

\eta=a\frac{V}{\sqrt{V^{2}-v^{2}}}y

et

\zeta=a\frac{V}{\sqrt{V^{2}-v^{2}}}z.

Si pour x', nous substituons sa valeur, nous obtenons

\begin{array}{lll}??\tau & = & \varphi(v)\beta(t-\frac{v}{V^{2}}x),\\??\\\xi & = & \varphi(v)\beta(x-vt),\\??\\\eta & = & \varphi(v)y,\\??\\\zeta & = & \varphi(v)z,\end{array}

o�

\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}

et φ est encore une fonction inconnue de v. Si nous ne faisons aucune hypoth�se sur la position initiale du syst�me en mouvement et sur le point sans dimension τ, alors une constante additive doit �tre ajout�e du c�t� droit de l'�quation.

Nous devons d�montrer que tout rayon lumineux se d�place dans le syst�me en mouvement � une vitesse V (telle que mesur�e dans le syst�me en mouvement) si, comme nous en avons d�j� fait l'hypoth�se, V est aussi la vitesse dans le syst�me stationnaire. En effet, nous n'avons pas encore pr�sent� une quelconque preuve que le principe de la constance de la vitesse de la lumi�re est compatible avec le principe de relativit�.

Au temps τ = t = 0, soit une onde sph�rique �mise depuis l'origine commune des deux syst�mes de coordonn�es, onde qui se propage � une vitesse V dans le syst�me K. Si (x, y, z) est un point atteint par l'onde, alors

x^2 + y^2 + z^2 = V^2t^2.

� l'aide de nos �quations de transformations, faisons la transformation de cette �quation. Par un simple calcul nous avons

\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = V^2\tau^2.

En cons�quence, l'onde se propage dans le syst�me en mouvement � la m�me vitesse V, comme une onde sph�rique. Donc, nous avons d�montr� que les deux principes sont mutuellement compatibles.

Par les transformations, nous avons obtenu une fonction ind�termin�e φ de v, que nous allons maintenant d�terminer.

Dans ce but, introduisons un troisi�me syst�me de coordonn�es K' , qui est en mouvement relatif par rapport au syst�me k, le mouvement �tant parall�le � l'axe des Ξ de fa�on � ce que la vitesse de l'origine soit -v par rapport � l'axe des Ξ. Au temps t = 0, toutes les coordonn�es des points initiaux co�ncident, et pour t = x = y = z = 0, le temps t' du syst�me K' = 0. Si nous posons que x', y', z' sont les coordonn�es mesur�es dans le syst�me K' , alors par une double application des �quations de transformations, nous obtenons

\begin{array}{lllll}??t' & = & \varphi(-v)\beta(-v)\left\{ \tau+\frac{v}{V^{2}}\xi\right\} & = & \varphi(v)\varphi(-v)t,\\??\\x' & = & \varphi(-v)\beta(-v)\{\xi+v\tau\} & = & \varphi(v)\varphi(-v)x,\\??\\y' & = & \varphi(-v)\eta & = & \varphi(v)\varphi(-v)y,\\??\\z' & = & \varphi(-v)\zeta & = & \varphi(v)\varphi(-v)z.\end{array}

Puisque les relations entre x', y', z' et x, y, z ne comprennent pas explicitement le temps t, K et K' sont donc relativement au repos. Il appara�t clairement que la transformation de K � K' doit �tre identique. D'o�

\varphi(v)\varphi(-v) = 1.\,

Nous sommes pr�t � calculer φ(v). Portons notre attention sur la partie de l'axe des y du syst�me k entre ξ = 0, η = 0, ζ = 0 et ξ = 0, η = 1, ζ = 0. Couvrons cette partie de l'axe des y avec une tige qui se d�place � une vitesse v relativement au syst�me K et perpendiculairement � son axe. Les extr�mit�s de la tige ont donc comme coordonn�es dans K�:

x_{1}=vt,\ y_{1}=\frac{l}{\varphi(v)},\ z_{1}=0

et

x_{2}=vt,\ y_{2}=0,\ z_{2}=0.

En cons�quence, la longueur de la tige mesur�e dans le syst�me K est l / φ(v). Donc, la signification de φ est connue. Pour des raisons de sym�trie, il est maintenant �vident que la longueur (mesur�e dans le syst�me stationnaire) d'une certaine tige qui se d�place perpendiculairement � son axe, peut seulement d�pendre de sa vitesse, mais pas de la direction et du sens du mouvement. Donc, la longueur de la tige en mouvement, telle que mesur�e dans le syst�me stationnaire, ne change pas si v est remplac� par -v. Nous avons donc�:

\frac{l}{\varphi(v)}=\frac{l}{\varphi(-v)}

ou

\varphi(v)=\varphi(-v).\,

De ceci et des relations trouv�es plus haut, il suit que φ(v) = 1. Donc, les �quations de transformations deviennent�:

\begin{array}{lll}??\tau & = & \beta(t-\frac{v}{V^{2}}x),\\??\\\xi & = & \beta(x-vt),\\??\\\eta & = & y,\\??\\\zeta & = & z,\end{array}

o�

\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}.

�

� 4. La signification physique des �quations obtenues
pour les corps rigides et les horloges en mouvement

Supposons une sph�re rigide�3 de rayon R qui est au repos relativement au syst�me k et dont le centre co�ncide avec l'origine de K, alors l'�quation de la surface de cette sph�re, qui se d�place � une vitesse v relativement � K, est�:

\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=R^{2}.\,

Au temps t = 0, l'�quation de cette surface s'exprime en fonction de x, y, z par

\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}\right)^{2}}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.

Un corps rigide, qui montre la forme d'une sph�re quand mesur� dans un syst�me stationnaire, a en cons�quence dans des conditions de mouvement ��lorsqu'observ� depuis le syst�me stationnaire��, la forme d'un ellipso�de de r�volution dont les demi-axes mesurent

R\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}},\ R,\ R.

Alors que les dimensions en y et z de la sph�re (ou de n'importe quel autre solide) ne semblent pas modifi�es par le mouvement, la dimension en x est raccourcie selon le rapport \scriptstyle 1\ :\ \sqrt{1-(v/V)^{2}} �; le raccourcissement est d'autant plus grand que la vitesse v est grande. Pour v = V, tous les corps en mouvement, lorsqu'observ�s depuis un syst�me stationnaire, se r�duisent � des plans. Pour une vitesse supraluminique, nos propositions sont d�nu�es de sens. Par ailleurs, dans les observations qui suivent, nous d�couvrirons que la vitesse de la lumi�re joue le r�le physique d'une vitesse infiniment grande.

Il est �vident que des r�sultats semblables sont vrais pour des corps au repos dans un syst�me stationnaire lorsqu'ils sont observ�s depuis un syst�me en mouvement rectiligne uniforme.

Soit une horloge immobile dans le syst�me stationnaire qui donne le temps t, et qui donne le temps τ lorsqu'immobile dans un syst�me en mouvement. Supposons qu'elle se trouve � l'origine du syst�me en mouvement k et r�gl�e pour donner le temps τ. � quelle cadence avance cette horloge, lorsqu'observ�e du syst�me stationnaire�?

� partir des grandeurs x, t et τ, qui r�f�rent � l'endroit de cette horloge, les �quations sont donn�es par

\tau=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}(t-\frac{v}{V^{2}}x)

et

x = vt.\,

D'o�

\tau=t\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}=t-\left(1-\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}\right)t .

Donc, l'horloge retarde de \scriptstyle \left(1-\sqrt{1-(v/V)^{2}}\right) secondes (lorsqu'observ�e du syst�me stationnaire) par seconde ou, en n�gligeant les approximations du quatri�me ordre et sup�rieurs, \scriptstyle \tfrac{1}{2}(v/V)^{2} secondes.

De ceci d�coulent des cons�quences remarquables. Supposons qu'en deux points A et B de K, lorsqu'observ�es depuis le syst�me stationnaire, se trouvent deux horloges synchronis�es. Supposons que l'horloge en A est mise en mouvement � la vitesse v sur une ligne qui rejoint B, alors lorsqu'elle arrive � B, les deux ne seront plus synchronis�es, mais l'horloge qui s'est d�plac�e de A � B aura un retard sur l'horloge toujours demeur�e en B de la quantit� \scriptstyle \tfrac{1}{2}tv^{2}/V^{2} secondes (en n�gligeant les approximations du quatri�me ordre et sup�rieurs), o� t est le temps pris pour accomplir le d�placement de A � B.

Nous voyons imm�diatement que ce r�sultat est �galement vrai quand l'horloge se d�place de A � B en suivant une ligne polygonale, et aussi quand A et B co�ncident.

Si nous faisons l'hypoth�se que le r�sultat obtenu pour une ligne polygonale est �galement vrai pour une ligne courbe, nous obtenons le th�or�me suivant�: Si � A, il y a deux horloges synchronis�es et si nous d�pla�ons l'une d'elles � une vitesse constante selon une courbe ferm�e qui revient � A, le d�placement �tant compl�t� en t secondes, alors � son arriv�e � A, cette derni�re retardera de \scriptstyle \frac{1}{2}t(v/V)^{2} secondes sur l'horloge immobile. En s'appuyant sur ce r�sultat, nous concluons qu'une horloge � balancier plac�e � l'�quateur doit �tre plus lente par une tr�s petite quantit� qu'une autre identique plac�e � l'un des p�les, les autres conditions �tant identiques.

�

� 5. Th�or�me d'addition des vitesses

Soit un point en mouvement dans le syst�me k (qui se d�place � une vitesse v parall�lement � l'axe des x du syst�me K) qui respecte les �quations

\begin{array}{ll}??\xi= & w_{\xi}\tau,\\??\\\eta= & w_{\eta}\tau,\\??\\\zeta= & 0,\end{array}

o� wξ et wη sont des constantes.

Trouvons le mouvement du point relativement au syst�me K. Si nous ins�rons les grandeurs x, y, z, t dans les �quations du mouvement en utilisant les �quations de transformation du � 3, nous obtenons

\begin{array}{lll}??x & = & \frac{w_{\xi}+v}{1+\frac{vw_{\xi}}{V^{2}}}t,\\??\\y & = & \frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}{1+\frac{vw_{\xi}}{V^{2}}}w_{\eta}t,\\??\\z & = & 0.\end{array}

La r�gle du parall�logramme pour les vitesses est seulement vraie pour l'approximation au premier ordre. Nous �crivons donc

\begin{array}{lll}??U^{2} & = & \left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2},\\??\\w^{2} & = & w_{\xi}^{2}+w_{\eta}^{2}\end{array}

et

\alpha=\mathrm{arctan}\frac{w_{\eta}}{w_{\xi}},

c'est-�-dire que α est �gal � l'angle entre les vitesses v et w. Alors, apr�s un simple calcul, nous avons

U=\frac{\sqrt{(v^{2}+w^{2}+2v\ w\ \cos\alpha)-\left(\frac{v\ w\ \sin\alpha}{V}\right)^{2}}}{1+\frac{v\ w\ \cos\alpha}{V^{2}}}.

On observe que v et w sont introduits dans l'expression de la vitesse de fa�on sym�trique. Si w est aussi dans la direction de l'axe des x du syst�me en mouvement, nous avons

U=\frac{v+w}{1+\frac{vw}{V^{2}}}.

De cette �galit�, il d�coule que la combinaison de deux vitesses, chacune �tant plus petite que V, donne une vitesse toujours plus petite que V. Si nous posons v = V - ϰ et w = V-λ, o� ϰ et λ sont chacune positive et plus petite que V, alors

U=V\frac{2V-\varkappa-\lambda}{2V-\varkappa-\lambda+\frac{\varkappa\lambda}{V}}<V.

Il est �galement �vident que la vitesse de la lumi�re V ne peut �tre modifi�e en lui ajoutant une valeur plus petite. Dans ce cas, nous obtenons

U=\frac{V+w}{1+\frac{w}{v}}=V.

Nous avons d�duit la formule pour U dans le cas o� v et w sont dans la m�me direction�; elle peut aussi �tre calcul�e en combinant deux transformations selon la section � 3. Si en plus des syst�mes K et k du � 3, nous introduisons un troisi�me syst�me k' (qui se d�place parall�lement � k), dans lequel le point initial se d�place parall�lement � l'axe des Ξ ï¿½ une vitesse w, alors entre la grandeurs x, y, z, t et les grandeurs correspondantes de k' , nous obtenons un syst�me d'�quations diff�rent des �quations au � 3, en substituant � v cette grandeur

\frac{v+w}{1+\frac{vw}{V^{2}}}.

Nous observons qu'une telle transformation parall�le forme (comme il se doit) un groupe.

Nous avons d�duit la cin�matique qui correspond � nos deux principes fondamentaux pour les lois qui nous sont n�cessaires, et nous passons maintenant � leur application en �lectrodynamique.


�

II. Partie �lectrodynamique

�

� 6. Transformation des �quations de Maxwell-Hertz
dans un espace vide. Sur la nature de la force �lectromotrice
induite par le mouvement dans un champ magn�tique

Les �quations de Maxwell-Hertz dans un espace vide devraient �tre vraies dans un syst�me stationnaire K, d'o�

\begin{array}{llllll}??\frac{1}{V}\frac{\partial X}{\partial t} & = & \frac{\partial N}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z}, & \ \frac{1}{V}\frac{\partial L}{\partial t} & = & \frac{\partial Y}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial y},\\??\\\frac{1}{V}\frac{\partial Y}{\partial t} & = & \frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial N}{\partial x}, & \ \frac{1}{V}\frac{\partial M}{\partial t} & = & \frac{\partial Z}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial z},\\??\\\frac{1}{V}\frac{\partial Z}{\partial t} & = & \frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}, & \ \frac{1}{V}\frac{\partial N}{\partial t} & = & \frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x},\end{array}

o� (X, Y, Z) est le vecteur de la force �lectrique et (L, M, N), de la force magn�tique.

Si nous appliquons les transformations du � 3 � ces �quations et si nous ramenons les processus �lectromagn�tiques au syst�me de coordonn�es (introduit � cet endroit) se d�pla�ant � une vitesse v, nous avons

\begin{array}{lllll}??\frac{1}{V}\frac{\partial X}{\partial\tau} & = & \frac{\partial\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial\eta} & - & \frac{\partial\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial\zeta},\\??\\\frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial\tau} & = & \frac{\partial L}{\partial\xi} & - & \frac{\partial\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial\xi},\\??\\\frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial\tau} & = & \frac{\partial\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial\xi} & - & \frac{\partial L}{\partial\eta},\\??\\\frac{1}{V}\frac{\partial L}{\partial\tau} & = & \frac{\partial\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial\zeta} & - & \frac{\partial\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial\eta},\end{array}

\begin{array}{lllll}??\frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial\tau} & = & \frac{\partial\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial\xi} & - & \frac{\partial X}{\partial\zeta},\\??\\\frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial\tau} & = & \frac{\partial X}{\partial\eta} & - & \frac{\partial\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial\xi},\end{array}

o�

\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}.

Le principe de relativit� exige que les �quations de Maxwell-Hertz dans un espace vide soient vraies dans le syst�me k, si elles sont vraies dans le syst�me K, c'est-�-dire que, pour les vecteurs des forces �lectriques et magn�tiques ((X', Y', Z') et (L', M', N')) qui influencent les masses �lectriques et magn�tiques du syst�me en mouvement k, qui sont d�finies par leurs r�actions pond�romotrices, les �quations sont vraies,

\begin{array}{llll}??\frac{1}{V}\frac{\partial X'}{\partial\tau} & = & \frac{\partial N'}{\partial\eta}-\frac{\partial M'}{\partial\zeta},\ \frac{1}{V}\frac{\partial L'}{\partial\tau}= & \frac{\partial Y'}{\partial\zeta}-\frac{\partial Z'}{\partial\eta},\\??\\\frac{1}{V}\frac{\partial Y'}{\partial\tau} & = & \frac{\partial L'}{\partial\zeta}-\frac{\partial N'}{\partial\xi},\ \frac{1}{V}\frac{\partial M'}{\partial\tau}= & \frac{\partial Z'}{\partial\xi}-\frac{\partial X'}{\partial\zeta},\\??\\\frac{1}{V}\frac{\partial Z'}{\partial\tau} & = & \frac{\partial M'}{\partial\xi}-\frac{\partial L'}{\partial\eta},\ \frac{1}{V}\frac{\partial N'}{\partial\tau}= & \frac{\partial X'}{\partial\eta}-\frac{\partial Y'}{\partial\xi}.\end{array}

�videmment, les deux syst�mes d'�quations (2) et (3) d�velopp�s pour le syst�me k devraient exprimer les m�mes choses, puisque ces deux syst�mes sont �quivalents aux �quations de Maxwell-Hertz du syst�me K. Puisque les deux syst�mes d'�quations (2) et (3) co�ncident jusqu'aux symboles repr�sentant les vecteurs, il suit que les fonctions apparaissant aux places correspondantes co�ncident au facteur ψ(v) pr�s, qui d�pend peut-�tre de v et est ind�pendant de ξ, η, ζ, τ. D'o� les relations,

\begin{array}{llllll}??X' & = & \psi(v)X, & L' & = & \psi(v)L,\\??\\Y' & = & \psi(v)\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right), & M' & = & \psi(v)\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right),\\??\\Z' & = & \psi(v)\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right), & N' & = & \psi(v)\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right).\end{array}

Maintenant, si la r�ciproque de ce syst�me d'�quations est form�e, premi�rement en r�solvant les �quations que nous venons d'obtenir, deuxi�mement en appliquant les �quations � la transformation inverse (de k � K), qui a comme caract�ristique la vitesse -v, il suit, en sachant que les deux syst�mes d'�quations ainsi calcul�s doivent �tre identiques�:

\varphi(v)\cdot\varphi(-v) = 1.\,

Toujours pour des raisons de sym�trie4

\varphi(v) = \varphi(-v),

d'o�

\varphi(v) = 1,\,

et nos �quations prennent la forme

\begin{array}{llllll}??X' & = & X, & L' & = & L,\\??\\Y' & = & \beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right), & M' & = & \beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right),\\??\\Z' & = & \beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right), & N' & = & \beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right).\end{array}

En ce qui concerne l'interpr�tation de ces �quations, nous d�clarons ceci. Soit une masse ponctuelle d'�lectricit� d'une grandeur unitaire dans le syst�me stationnaire K, c'est-�-dire, dans ce syst�me stationnaire, qu'elle exerce une force de 1 dyne sur un objet similaire plac� � une distance de 1�cm. En vertu du principe de relativit�, cette masse �lectrique mesure aussi une grandeur ��unit頻 dans le syst�me en mouvement. Si cette masse �lectrique est au repos dans le syst�me stationnaire, alors la force exerc�e sur elle est �quivalente au vecteur de la force �lectrique (X, Y, Z). Mais si cette masse �lectrique est au repos dans le syst�me en mouvement (du moins au moment o� elle est observ�e), alors la force qui s'exerce sur elle et mesur�e dans le syst�me en mouvement est �quivalente au vecteur (X', Y', Z'). La premi�re des trois syst�mes d'�quations (1), (2) et (3) s'exprime alors comme suit�:

1. Si une masse ponctuelle et unitaire d'�lectricit� se d�place dans un champ �lectromagn�tique, alors en plus de la force �lectrique, une ��force �lectromotrice�� agit sur elle, qui, en n�gligeant les termes de second ordre et sup�rieurs de v/V, est �quivalente au produit vectoriel de la vitesse de la masse ponctuelle et de la force magn�tique divis� par la vitesse de la lumi�re. (Ancien mode d'expression.)

2. Si une masse ponctuelle et unitaire d'�lectricit� se d�place dans un champ �lectromagn�tique, alors la force qui agit sur elle est �quivalente � la force �lectrique qui existe � la position de la masse unitaire, que nous obtenons par la transformation du champ en un syst�me de coordonn�es qui est au repos relativement � la masse �lectrique unitaire. (Nouveau mode d'expression.)

Des th�or�mes semblables faisant appel aux ��forces magn�tomotrices�� sont vrais. Dans la th�orie expos�e, nous observons que la force �lectromagn�tique joue un r�le auxiliaire, qui doit son introduction � la circonstance que les forces �lectrique et magn�tique n'existent pas ind�pendamment de la nature du d�placement dans le syst�me de coordonn�es.

De plus, il est clair que l'asym�trie, mentionn�e dans l'introduction et qui appara�t quand nous discutons du courant engendr� par le d�placement relatif d'un aimant et d'un conducteur, dispara�t. �galement, la question de l'��origine�� des forces �lectromotrices �lectromagn�tiques (machine homopolaire) perd tout son sens.

�

� 7. Th�orie du principe de Doppler et de l'aberration

Supposons une source d'ondes �lectromagn�tiquesNdT 6 dans le syst�me K � une grande distance de l'origine, mod�lis�e avec une bonne approximation dans une partie de l'espace qui contient l'origine par les �quations�:

\begin{array}{lll}??X=X_{0}\sin\Phi, & L=L_{0}\sin\Phi,\ \\??\\Y=Y_{0}\sin\Phi, & M=M_{0}\sin\Phi,\ & \Phi=\omega\left(t-\frac{ax+by+cz}{V}\right),\\??\\Z=Z_{0}\sin\Phi, & N=N_{0}\sin\Phi.\ \end{array}

Ici (X0, Y0, Z0) et (L0, M0, N0) sont les vecteurs qui d�terminent l'amplitude du train d'ondes et (a, b, c) sont les cosinus directeurs des normales � l'onde.

Questionnons-nous sur la composition de ces ondes, quand elles sont observ�es par un observateur au repos dans le syst�me en mouvement k. En appliquant les �quations de transformation obtenues au � 6 pour les forces �lectrique et magn�tique, et les �quations de transformation obtenues au � 3 pour les coordonn�es et le temps, il vient imm�diatement�:

\begin{array}{lrlr}??X'= & X_{0}\sin\Phi', & L'= & L_{0}\sin\Phi',\\??\\Y'= & \beta(Y_{0}-\frac{v}{V}N_{0})\sin\Phi', & M'= & \beta(M_{0}+\frac{v}{V}Z_{0})\sin\Phi',\\??\\Z'= & \beta(Z_{0}+\frac{v}{V}M_{0})\sin\Phi', & N'= & \beta(N_{0}-\frac{v}{V}Y_{0})\sin\Phi',\end{array}

\Phi'=\omega'\left(\tau-\frac{a'\xi+b'\eta+c'\zeta}{V}\right),

o�

\begin{array}{lll}??\omega' & = & \omega\beta(1-a\frac{v}{V}),\\??\\a' & = & \frac{a-\frac{v}{V}}{1-a\frac{v}{V}},\\??\\b' & = & \frac{b}{\beta\left(1-a\frac{v}{V}\right)},\\??\\c' & = & \frac{c}{\beta\left(1-a\frac{v}{V}\right)}.\end{array}

De l'�quation donnant ω' , il r�sulte que si un observateur se d�place � une vitesse v relativement � une source lumineuse situ�e � une distance infinie qui �met des ondes d'une fr�quenceν, de telle fa�on que la ligne qui joint la source de la lumi�re et l'observateur fait un angle φ avec la vitesse de l'observateur rapport�e � un syst�me de coordonn�es qui est stationnaire en regard de la source, alors la fr�quence ν' per�ue par l'observateur se calcule par la formule�:

\nu'=\nu\frac{1-\cos\varphi\frac{v}{V}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}.

C'est le principe de Doppler pour toute vitesse.

Si φ = 0, alors l'�quation prend une forme plus simple�:

\nu'=\nu\sqrt{\frac{1-\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}}}.

Nous observons que ��contrairement � la conception courante�� si v = -V, alors ν' = ∞NdT 7.

Si φ' est l'angle entre la normale de l'onde (direction du rayon) dans le syst�me en mouvement et le segment ��source-observateur lumi�re��, l'�quation pour a' prend la forme

\cos\varphi'=\frac{\cos\varphi-\frac{v}{V}}{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}.

Cette �quation exprime la loi de l'aberration sous sa forme la plus g�n�rale. Si φ = π/2, alors elle prend la forme simple�:

\cos\varphi'=-\frac{v}{V}.

Nous devons toujours trouver l'amplitude des ondes qui apparaissent dans le syst�me en mouvement. Si A et A' sont les forces (�lectrique et magn�tique) mesur�es dans les syst�mes stationnaire et en mouvement, nous avons

A'^{2}=A^{2}\frac{\left(1-\frac{v}{V}\cos\varphi\right)^{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}.

Si φ = 0, alors elle se r�duit � la forme simple

A'^{2}=A^{2}\frac{1-\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}}.

En s'appuyant sur ces �quations, il semble que pour un observateur, qui se d�place � la vitesse V vers la source de lumi�re, cette source lui appara�tra infiniment intense.

�

� 8. Transformation de l'�nergie des rayons lumineux. Th�orie de la pression de radiation exerc�e sur un miroir parfait

Puisque A2/8π est �gal � l'�nergie de la lumi�re par unit� de volume, nous devons (selon le principe de relativit�) consid�rer A'2/8π comme l'�nergie de la lumi�re dans le syst�me en mouvement. En cons�quence, A'2/A2 d�finit le rapport entre les �nergies d'un complexe de lumi�reNdT 8 born� ��mesur� lorsqu'en mouvement�� et ��mesur� lorsque stationnaire��, les volumes du complexe de lumi�re mesur�s dans K et k �tant �gaux. Or, ce n'est pas le cas. Si a, b, c sont les cosinus directeurs des normales � l'onde lumineuse dans le syst�me stationnaire, alors aucune �nergie ne traverse les �l�ments de la surface sph�rique

(x-Vat)^{2}+(y-Vbt)^{2}+(z-Vct)^{2}=R^{2}\,

qui se d�place � la vitesse de la lumi�re. Nous pouvons donc affirmer que cette surface contient toujours le m�me complexe de lumi�re. Analysons la quantit� d'�nergie que cette surface renferme, quand elle est observ�e du syst�me k, c'est-�-dire l'�nergie du complexe de lumi�re relativement au syst�me k.

Observ�e depuis le syst�me en mouvement, la surface sph�rique devient ellipso�dale et respecte, au temps τ = 0, l'�quation�:

\left(\beta\xi-a\beta\frac{v}{V}\xi\right)^{2}+\left(\eta-b\beta\frac{v}{V}\xi\right)^{2}+\left(\zeta-c\beta\frac{v}{V}\xi\right)^{2}=R^{2}.

Si S d�signe le volume de la sph�re et S' le volume de cet ellipso�de, alors un simple calcul montre que

\frac{S'}{S}=\frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}.

Si E repr�sente l'�nergie lumineuse mesur�e dans le syst�me stationnaire et E' l'�nergie mesur�e dans le syst�me en mouvement, born�es par les surfaces d�crites plus haut, alors

\frac{E'}{E}=\frac{\frac{A'^{2}}{8\pi}S'}{\frac{A^{2}}{8\pi}S}=\frac{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}.

Si φ = 0, nous obtenons une formule plus simple�:

\frac{E'}{E}=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}}}.

Remarquons que l'�nergie et la fr�quence du complexe de lumi�re varient selon la m�me loi que l'�tat de mouvement de l'observateur.

Soit un parfait miroir r�fl�chissant dans le plan de coordonn�es ξ=0, � partir duquel l'onde plane �tudi�e dans le paragraphe pr�c�dent est r�fl�chie. Demandons-nous quelle pression de radiation s'exerce sur la surface r�fl�chissante, ainsi que la direction, la fr�quence et l'intensit� de la lumi�re apr�s la r�flexion.

Soit la lumi�re incidente d�finie par les grandeurs A, cos φ, ν (dans le syst�me K). Observ�es de k, nous avons les grandeurs correspondantes�:

\begin{array}{lll}??A' & = & A\frac{1-\frac{v}{V}\cos{\varphi}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}},\\??\\\cos{\varphi'} & = & \frac{\cos{\varphi}-\frac{v}{V}}{1-\frac{v}{V}\cos{\varphi}},\\??\\\nu' & = & \nu\frac{1-\frac{v}{V}\cos{\varphi}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}.\end{array}

Pour la lumi�re r�fl�chie, nous obtenons, quand le ph�nom�ne est observ� du syst�me k�:

\begin{array}{rll}??A'' & = & A',\\??\\\cos\varphi'' & = & -\cos\varphi',\\??\\\nu'' & = & \nu'.\end{array}

En appliquant une transformation inverse au syst�me stationnaire K, nous obtiendrons pour la lumi�re r�fl�chie�:

\begin{array}{rll}??A''' & = & A''\frac{1+\frac{v}{V}cos\varphi''}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}=A\frac{1-2\frac{v}{V}\cos\varphi+\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}},\\??\\\cos\varphi''' & = & \frac{\cos\varphi''+\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}\cos\varphi''}=-\frac{\left(1+\left(\frac{v}{V}\right)^{2}\right)\cos\varphi-2\frac{v}{V}}{1-2\frac{v}{V}\cos\varphi+\left(\frac{v}{V}\right)^{2}},\\??\\\nu''' & = & \nu''\frac{1+\frac{v}{V}\cos\varphi''}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}=\nu\frac{1-2\frac{v}{V}\cos\varphi+\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}{\left(1-\frac{v}{V}\right)^{2}}.\end{array}

L'�nergie qui tombe sur une unit� de surface du miroir par unit� de temps (mesur�e dans le syst�me stationnaire) est �videmment (A2 / 8 π) (V cos φ - v). La quantit� d'�nergie qui en rayonne par unit� de surface du miroir par unit� de temps est (A''' 2 / 8 π) (-V cos φ''' + v). La diff�rence entre ces deux expressions est, selon le principe de l'�nergie, la quantit� de travail accomplie par la pression de radiation par unit� de temps. Si nous la posons �gale � P.v, o� P est la pression de radiation, nous avons

P=2\frac{A^{2}}{8\pi}\frac{\left(\cos\varphi-\frac{v}{V}\right)^{2}}{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}.

Par l'approximation au premier ordre, nous obtenons

P=2\frac{A^{2}}{8\pi}\cos^{2}\varphi.

qui est en accord avec les observations et d'autres th�ories.

Tous les probl�mes d'optique des corps en mouvement peuvent �tre r�solus en appliquant les m�thodes expos�es ici. Le point crucial est que toutes les forces �lectriques et magn�tiques de la lumi�re, qui sont influenc�es par un corps en mouvement, devraient �tre transform�es dans un syst�me de coordonn�es stationnaire relativement au corps. De cette fa�on, tous les probl�mes optiques de corps en mouvement seraient r�duits � une suite de probl�mes d'optique de corps au repos.

�

� 9. Transformations des �quations de Maxwell-Hertz
en ce qui concerne les courants de convection

Commen�ons par ces �quations�:

\begin{array}{llllll}??\frac{1}{V}\left\{ u_{x}\varrho+\frac{\partial X}{\partial t}\right\} & = & \frac{\partial N}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z}, & \frac{1}{V}\frac{\partial L}{\partial t} & = & \frac{\partial Y}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial y},\\??\\\frac{1}{V}\left\{ u_{y}\varrho+\frac{\partial Y}{\partial t}\right\} & = & \frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial N}{\partial x}, & \frac{1}{V}\frac{\partial M}{\partial t} & = & \frac{\partial Z}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial z},\\??\\\frac{1}{V}\left\{ u_{z}\varrho+\frac{\partial Z}{\partial t}\right\} & = & \frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}, & \frac{1}{V}\frac{\partial N}{\partial t} & = & \frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x}\end{array}

o�

\varrho=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}

indique 4π fois la densit� de l'�lectricit� et (ux, uy, uz) est le vecteur vitesse de l'�lectricit�. Si nous supposons que les masses �lectriques sont li�es de fa�on permanente � de petits corps rigides (ions ou �lectrons, par exemple), alors ces �quations forment le fondement �lectromagn�tique de l'�lectrodynamique et de l'optique des corps en mouvement de Lorentz.

Si ces �quations, vraies dans le syst�me K, sont transform�es pour le syst�me k � l'aide des �quations de transformations donn�es aux � 3 et � 6, alors nous obtenons les �quations�:

\begin{array}{llllll}??\frac{1}{V}\left\{ u_{\xi}\varrho'+\frac{\partial X'}{\partial\tau}\right\} & = & \frac{\partial N'}{\partial\eta}-\frac{\partial M'}{\partial\zeta}, & \frac{\partial L'}{\partial\tau} & = & \frac{\partial Y'}{\partial\zeta}-\frac{\partial Z'}{\partial\eta},\\??\\\frac{1}{V}\left\{ u_{\eta}\varrho'+\frac{\partial Y'}{\partial\tau}\right\} & = & \frac{\partial L'}{\partial\zeta}-\frac{\partial N'}{\partial\xi}, & \frac{\partial M'}{\partial\tau} & = & \frac{\partial Z'}{\partial\xi}-\frac{\partial X'}{\partial\zeta},\\??\\\frac{1}{V}\left\{ u_{\zeta}\varrho'+\frac{\partial Z'}{\partial\tau}\right\} & = & \frac{\partial M'}{\partial\xi}-\frac{\partial L'}{\partial\eta}, & \frac{\partial N'}{\partial\tau} & = & \frac{\partial X'}{\partial\eta}-\frac{\partial Y'}{\partial\xi}\end{array}

o�

\begin{array}{rlll}??\frac{u_{x}-v}{1-\frac{u_{x}v}{V^{2}}} & = & u_{\xi},\\??\\\frac{u_{y}}{\beta\left(1-\frac{u_{x}v}{V^{2}}\right)} & = & u_{\eta}, & \varrho'=\frac{\partial X'}{\partial\xi}+\frac{\partial Y'}{\partial\eta}+\frac{\partial Z'}{\partial\zeta}=\beta\left(1-\frac{v\ ux_{x}}{V^{2}}\right)\varrho.\\??\\\frac{u_{z}}{\beta\left(1-\frac{u_{x}v}{V^{2}}\right)} & = & u_{\zeta}.\end{array}

Puisque le vecteur (uξ, uη, uζ) n'est rien d'autre que la vitesse de la masse �lectrique mesur�e dans le syst�me k, qui est une cons�quence du th�or�me d'addition des vitesses du � 5, alors il est d�montr� que, en prenant notre principe cin�matique comme base, le fondement �lectromagn�tique de la th�orie de Lorentz de l'�lectrodynamique des corps en mouvement correspond au principe de relativit�.

Nous pouvons bri�vement remarquer qu'une loi importante d�coule ais�ment des �quations d�velopp�es�: si un corps �lectriquement charg� se d�place de quelque fa�on que ce soit dans l'espace et si sa charge est invariable, quand observ�e depuis un syst�me qui se d�place de la m�me fa�on, alors la charge demeure constante m�me si elle observ�e depuis le syst�me stationnaire K.

�

� 10. Dynamique de l'�lectron (lentement acc�l�r�)

Supposons qu'une particule ponctuelle qui poss�de la charge �lectrique ε (que nous appellerons dor�navant ���lectron��) se d�place dans un champ �lectromagn�tique. Nous faisons l'hypoth�se suivante pour sa loi de d�placement.

Si l'�lectron est au repos � une p�riode de temps bien d�finie, alors pendant la prochaine parcelle de temps, le mouvement respecte les �quations

\begin{array}{lll}??\mu\frac{d^{2}x}{dt^{2}} & = & \epsilon X,\\??\\\mu\frac{d^{2}y}{dt^{2}} & = & \epsilon Y,\\??\\\mu\frac{d^{2}z}{dt^{2}} & = & \epsilon Z,\end{array}

o� x, y, z sont les coordonn�es de l'�lectron et μ sa masse, du moment qu'il se d�place lentement.

Supposons que l'�lectron se d�place � une vitesse v � une certaine p�riode de temps. Analysons les lois selon lesquelles l'�lectron se d�placera pendant la parcelle de temps qui suit imm�diatement.

Sans modifier la port�e g�n�rale de notre discussion, nous pouvons et ferons l'hypoth�se que, au moment que nous analysons, l'�lectron est � l'origine du syst�me de coordonn�es, puis se d�place � la vitesse v selon l'axe des x du syst�me K. Il est �vident qu'� ce moment (t=0), l'�lectron est au repos relativement au syst�me k, qui se d�place parall�lement � l'axe des x � la vitesse constante v.

� partir des hypoth�ses faites plus haut, en association avec le principe de relativit�, il est �vident qu'observ� depuis le syst�me k, l'�lectron ��pendant la parcelle de temps imm�diatement cons�cutive (pour une petite valeur de t)�� se d�place selon les �quations

\begin{array}{lll}??\mu\frac{d^{2}\xi}{d\tau^{2}} & = & \epsilon X',\\??\\\mu\frac{d^{2}\eta}{d\tau^{2}} & = & \epsilon Y',\\??\\\mu\frac{d^{2}\zeta}{d\tau^{2}} & = & \epsilon Z',\end{array}

o� les symboles ξ, η, ζ, τ, X', Y', Z' se rapportent au syst�me k. Si nous fixons t = x = y = z = 0 et τ = ξ = η = ζ = 0, alors les �quations de transformation donn�es aux �� 3 et 6 sont vraies. Nous avons�:

\begin{array}{llll}??\tau= & \beta\left(t-\frac{v}{V^{2}}x\right),\\??\\\xi= & \beta(x-vt), & X'= & X,\\??\\\eta= & y, & Y'= & \beta(Y-\frac{v}{V}N),\\??\\\zeta= & z, & Z'= & \beta(Z+\frac{v}{V}M).\end{array}

� l'aide de ces �quations, nous pouvons transformer les �quations du mouvement plus haut du syst�me k au syst�me K et obtenir�:

(A)\qquad\begin{cases}??\frac{d^{2}x}{dt^{2}} & =\frac{\epsilon}{\mu}\frac{1}{\beta^{3}}X\\??\\\frac{d^{2}y}{dt^{2}} & =\frac{\epsilon}{\mu}\frac{1}{\beta}\left(Y-\frac{v}{V}N\right)\\??\\\frac{d^{2}z}{dt^{2}} & =\frac{\epsilon}{\mu}\frac{1}{\beta}\left(Z+\frac{v}{V}M\right).\end{cases}

Questionnons-nous, suivant la m�thode habituelle de calculs, sur les masses longitudinale et transversale d'un �lectron en mouvement. Nous r��crivons les �quations (A) sous la forme

\begin{array}{lllll}??\mu\beta^{3}\frac{d^{2}x}{dt^{2}} & = & \epsilon X & = & \epsilon X',\\??\\\mu\beta^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}} & = & \epsilon\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right) & = & \epsilon Y',\\??\\\mu\beta^{2}\frac{d^{2}z}{dt^{2}} & = & \epsilon\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right) & = & \epsilon Z'\end{array}

et observons tout de suite que εX', εY', εZ' sont les composantes de la force pond�romotrice qui agit sur l'�lectron et sont consid�r�es dans un syst�me en mouvement qui, � ce moment, se d�place � la m�me vitesse que l'�lectron. (Cette force peut, par exemple, �tre mesur�e par une balance � ressort au repos dans ce syst�me.) Si nous appelons bri�vement cette force la ��force qui agit sur l'�lectron��, et continuons avec cette �quation�:

Valeur de la masse � valeur de l'acc�l�ration = Valeur de la force,

et si nous d�finissons de plus que les acc�l�rations sont mesur�es dans le syst�me stationnaire K, alors � partir des �quations plus haut, nous obtenons�:

\text{Masse longitudinale} = \frac{\mu}{\left(\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}\right)^{3}},

\text{Masse transversale} = \frac{\mu}{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}.

Naturellement, quand la force et l'acc�l�ration sont d�finies autrement, d'autres valeurs sont obtenues pour la masse. Donc, nous voyons que nous devons proc�der avec beaucoup de pr�cautions lorsque nous comparons diff�rentes th�ories du mouvement de l'�lectron.

Observons que ce r�sultat sur la masse est �galement vrai pour une masse de mati�re pond�rable�; parce qu'un point mat�riel pond�rable peut �tre converti en �lectron (pour nos sens) en lui ajoutant une charge �lectrique aussi petite que l'on veut.

D�terminons maintenant l'�nergie cin�tique d'un �lectron. Si l'�lectron se d�place � partir de l'origine des coordonn�es d'un syst�me K � la vitesse initiale de 0 de fa�on r�guli�re selon l'axe des x sous l'action d'une force �lectrostatique X, alors il est �vident que l'�nergie tir�e du champ �lectrostatique est la valeur ∫ εX dx. Puisque l'�lectron devrait �tre acc�l�r� lentement et donc qu'aucune �nergie n'est perdue sous la forme de radiation, alors l'�nergie tir�e du champ �lectrostatique doit �galer l'�nergie W du d�placement. Consid�rant l'ensemble du ph�nom�ne de mouvement � l'�tude, la premi�re des �quations de (A) est vraie. Nous avons�:

W=\int\epsilon X\, dx=\int\limits _{0}^{v}\beta^{3}v\, dv=\mu V^{2}\left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}-1\right\} .

Lorsque v=V, W est infiniment grand. Comme nos r�sultats ant�rieurs le montrent, toute vitesse supraluminique est impossible.

En tant que cons�quence des arguments �crits plus haut, cette expression pour l'�nergie cin�tique doit aussi �tre vraie pour les masses pond�rables.

Nous sommes � m�me d'�num�rer les caract�ristiques du mouvement des �lectrons qui peuvent �tre v�rifi�es exp�rimentalement, lesquelles d�coulent du syst�me d'�quations (A).

1. De la deuxi�me �quation en (A), il d�coule qu'une force �lectrique Y et une force magn�tique N produisent la m�me d�flexion d'un �lectron se d�pla�ant � la vitesse v quand Y = N.v/V. En cons�quence, nous voyons qu'il est possible de mesurer la vitesse d'un �lectron en calculant le rapport de la d�flexion magn�tique Am et de la d�flexion �lectrique Ae, en accord avec notre th�orie pour toute vitesse arbitraire, en appliquant la loi�:

\frac{A_{m}}{A_{e}}=\frac{v}{V}.

Cette relation peut �tre test�e exp�rimentalement car la vitesse de l'�lectron peut �tre directement mesur�e � l'aide, par exemple, de champs �lectriques et magn�tiques oscillant rapidement.

2. � partir de la valeur de l'�nergie cin�tique de l'�lectron, il suit que si ce dernier subit une diff�rence de potentiel P, cette derni�re est li�e � la vitesse v par la relation suivante�:

P=\int X\ dx=\frac{\mu}{\epsilon}V^{2}\left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}-1\right\}.

3. Nous calculons le rayon de courbure R du chemin, o� la force magn�tique N est la seule force de d�flexion qui agit perpendiculairement � la vitesse de projection. De la seconde �quation en (A), nous obtenons�:

-\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{v^{2}}{R}=\frac{\epsilon}{\mu}\frac{v}{V}N\cdot\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}

ou

R=V^{2}\frac{\mu}{\epsilon}\cdot\frac{\frac{v}{V}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}\cdot\frac{1}{N}.

Ces trois relations expriment compl�tement la loi du mouvement de l'�lectron selon la th�orie expos�e plus haut.

En terminant, je tiens � souligner que mon ami et coll�gue M. Besso m'a pr�t� son concours pendant que je travaillais au probl�me discut� ici, et que je lui suis redevable de suggestions pr�cieuses.

Berne, juin 1905

(Re�u le 30 juin 1905.)

�

Notes

  1. L'inexactitude, inh�rente au concept de simultan�it� de deux �v�nements (presque) au m�me endroit, et qui doit �galement �tre r�solue par une abstraction, n'est pas discut�e ici.
  2. Ici, le terme ��temps�� indique indiff�remment ��temps dans le syst�me stationnaire�� et ��position des aiguilles d'une horloge en mouvement�� situ�e � la position en question.
  3. C'est-�-dire qui poss�de une forme sph�rique lorsque observ�e dans le syst�me stationnaire.
  4. Si par exemple X = Y = Z = L = M = 0 et N ≠ 0, alors pour des raisons de sym�trie il est clair que, en changeant le signe de v sans modifier sa valeur absolue, Y' doit aussi changer de signe sans changer de valeur absolue.

Notes du traducteur

  1. En jargon moderne, il s'agit de l'�ther luminif�re.
  2. Par � espace vide �, il faut comprendre � vide parfait �, que l'on peut presque assimiler � l'espace intersid�ral d�nu� de toute mati�re.
  3. En anglais, il est �crit � measuring rod �, qui se traduit litt�ralement par � tige � mesurer �. Le terme � r�gle � mesurer � est plus pr�s du sens recherch�.
  4. Dans sa traduction, Maurice Solovine pr�f�re � mouvement de translation uniforme �, selon le nom de l'une des transformations g�om�triques. La terminologie physique pr�f�re � mouvement rectiligne uniforme �.
  5. En jargon moderne, il s'agit d'un syst�me de coordonn�es cart�siennes en 3�dimensions.
  6. Dans le texte en anglais, il est �crit � electrodynamic �, mais dans l'article, il est seulement fait mention des th�ories de Maxwell, Hertz ou Lorentz, qui traitent toutes d'ondes �lectromagn�tiques.
  7. L'�quation est corrig�e selon ce qui est �crit dans la traduction de Maurice Solovine.
  8. Selon Yves Pierseaux dans La "Structure fine" de la Relativit� Restreinte (Harmattan, 1er juillet 1999, p.�300), Einstein introduit le terme � complexe de lumi�re � � ce moment-ci de l'article, puis, apr�s la publication de cet article, il pr�f�re � syst�me d'ondes planes �. Le jargon moderne pr�f�re ��paquet d'onde��.

Ouvrages

  1. (de) A. Einstein, ��Zur Elektrodynamik bewegter K�rper��, dans Annalen der Physik, vol.�322, no�10, 26�septembre�1905, p.�891-921 (ISSN 0003-3804) texte int�gral, lien DOI (fichier au format PDF)
  2. (en) Contributeurs, ��On the Electrodynamics of Moving Bodies (1920 edition)��, Wikisource, 2012.
  3. (en) Contributeurs, ��On the Electrodynamics of Moving Bodies��, 14�avril�2011.
  4. Albert Einstein (trad. Maurice Solovine), � Sur l'�lectrodynamique des corps en mouvement �, dans Einstein : Sur l'�lectrodynamique des corps en mouvement + 6 textes sur la Th�orie de la Relativit�, �ditions Jacques Gabay, 1994, 160�p. (ISBN 978-2-87647-155-9).
Retour au livre de l'auteur: Jacques Bainville, historien (1879-1936) Derni�re mise � jour de cette page le mardi 8 janvier 2013 11:51
Par Jean-Marie Tremblay, sociologue
professeur de sociologie retrait� du Cegep de Chicoutimi.
 


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